Dominio de la Frecuencia


Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Dominio de la Frecuencia"

Transcripción

1 Dominio de la Frecuencia Sistemas Electrónicos de Control Álvaro Gutiérrez 18 de abril de

2 Índice 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Resonancia Ancho de banda 4 Sintonización de PID Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 Conclusiones

3 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Resonancia Ancho de banda 4 Sintonización de PID Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 Conclusiones

4 Introducción El análisis en el dominio de la frecuencia hace referencia a la respuesta en régimen permanente a una entrada sinusoidal Los datos se pueden obtener sobre el sistema físico sin disponer del modelo matemático Las representaciones más usadas son las de Bode, Nyquist y Nichols

5 Régimen Permanente Sea donde entonces x(t) = Xsen(ωt) G(s) = Y(s) es estable X(s) y ss (t) = Ysen(ωt + φ) donde Y = X G(jω) y φ = G(jω) por lo tanto G(jω) = Y(jω) X(jω) y G(jω) = Y(jω) X(jω)

6 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Resonancia Ancho de banda 4 Sintonización de PID Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 Conclusiones

7 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Resonancia Ancho de banda 4 Sintonización de PID Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 Conclusiones

8 Diagrama de Bode - Introducción Formado por 2 gráficas: Logaritmo de la magnitud de la función de transferencia: 20log G(jω) Ángulo de fase Ambas con el eje de la frecuencia logarítmico Para la ganancia K Magnitud: 20log(K) Fase: 0

9 Diagrama de Bode - Integradores Para factores integrales ((jω) 1 )

10 Diagrama de Bode - Integradores Para factores integrales ((jω) 1 ) Magnitud: 20log(ω) (-20 db/dec) Fase: 90

11 Diagrama de Bode - Derivadores Para factores derivativos ((jω))

12 Diagrama de Bode - Derivadores Para factores derivativos ((jω)) Magnitud: 20log(ω) (20 db/dec) Fase: 90

13 Diagrama de Bode - Sist. de 1 er order

14 Diagrama de Bode - Sist. de 1 er order Para factores de primer orden ((1 + jωt) 1 ) ωt << 1 Magnitud: 0 Fase: 0 en ω = 0 ωt >> 1 Magnitud: 20log(ω) (-20 db/dec) Fase: 45 en frecuencia esquina (ω = 1/T ) Fase: 90 en ω

15 Diagrama de Bode - Sist. de 2 o orden Para factores cuadráticos ((1 + 2ζ(jω/ω n ) + (jω/ω n ) 2 ) 1 )

16 Diagrama de Bode - Sist. de 2 o orden Para factores cuadráticos ((1 + 2ζ(jω/ω n ) + (jω/ω n ) 2 ) 1 ) ω << ω n Magnitud: 0 Fase: 0 en ω = 0 ω >> ω n Magnitud: 40log(ω/ω n) (-40 db/dec) Fase: 90 en frecuencia esquina (ω = ω n ) Fase: 180 en ω Frecuencia de resonancia: ω r = ω n 1 2ζ2 ; 0 ζ M r = G(jω r) = 2ζ 1 ζ ; 0 ζ

17 Diagrama de Bode - Sist. de 2 o orden

18 Diagrama de Bode - Ejemplo Ejemplo: G(s) = 10(s + 3) s(s + 2)(s 2 + s + 2)

19 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Resonancia Ancho de banda 4 Sintonización de PID Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 Conclusiones

20 Diagrama de Nyquist - Introducción El diagrama de Nyquist es una representación en coordenadas polares de la magnitud de G(jω) con respecto al ángulo de fase de G(jω) cuando ω varía de 0 a Los ángulos de fase son positivos si se miden en el sentido contrario a las agujas del reloj Los ángulos de fase son negativos si se miden en el sentido de las agujas del reloj Cada punto del diagrama representa un valor de G(jω) para una determinada ω Ventaja: Representa en una gráfica las características de la respuesta en frecuencia para todo el rango de ω Desventaja: No indica claramente la contribución de todos los factores de la FT en lazo abierto

21 Diagrama de Nyquist - Integral y Derivativo Integral: 1 G(jω) = jω = j 1 ω = 1 ω 90 Diagrama de Nyquist: Eje imaginario negativo Derivativo: G(jω) = jω = ω 90 Diagrama de Nyquist: Eje imaginario positivo

22 Diagrama de Nyquist - 1 er orden G(jω) = jωt = ω 2 T 2 tan 1 ωt

23 Diagrama de Nyquist - 1 er orden G(jω) = jωt = ω 2 T 2 tan 1 ωt G(j0) = 1 0, G(j 1 T ) = y G(j0 ) = 0 90 G(jω) = 1 + jωt = 1 + ω 2 T 2 tan 1 ωt G(j0) = 1 0, G(j 1 T ) = 2 45 y G(j ) = 90

24 Diagrama de Nyquist - 1 er orden G(jω) = jωt = ω 2 T 2 tan 1 ωt G(j0) = 1 0, G(j 1 T ) = y G(j0 ) = 0 90 G(jω) = 1 + jωt = 1 + ω 2 T 2 tan 1 ωt G(j0) = 1 0, G(j 1 T ) = 2 45 y G(j ) = 90

25 Diagrama de Nyquist - 2 o orden G(jω) = ζ(j ω ω n ) + (j ω ω n ) 2 ; ζ > 0 lim G(jω) = 1 0 y lim G(jω) = ω 0 ω Si ω = ω n G(jω n ) = 1 2ζ 90 Frecuencia de resonancia: ω r = ω n 1 2ζ2 ; 0 ζ Mr = G(jω r ) = 1 2ζ 1 ζ 2 ; 0 ζ 0.707

26 Diagrama de Nyquist - 2 o orden G(jω) = ζ(j ω ω n ) + (j ω ω n ) 2 ; ζ > 0 lim G(jω) = 1 0 y lim G(jω) = ω 0 ω Si ω = ω n G(jω n ) = 1 2ζ 90 Frecuencia de resonancia: ω r = ω n 1 2ζ2 ; 0 ζ Mr = G(jω r ) = 1 2ζ 1 ζ 2 ; 0 ζ 0.707

27 Diagrama de Nyquist - Formas generales Tipo 0: G(j0) = finito y sobre ele eje real positivo. Fase(0) perpendicular al eje real G(j ) = 0. Fase ( ) tangente a uno de los ejes Tipo 1: G(j0) =. Fase(0) = 90 G(j ) = 0. Fase ( ) tangente a uno de los ejes Tipo 2: G(j0) =. Fase(0) = 180 G(j ) = 0. Fase ( ) tangente a uno de los ejes

28 Conclusiones en lazo cerrado G(jω 1 ) 1 + G(jω 1 ) = OA PA G(jω 1 ) 1 + G(jω 1 ) = φ θ

29 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Resonancia Ancho de banda 4 Sintonización de PID Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 Conclusiones

30 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Resonancia Ancho de banda 4 Sintonización de PID Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 Conclusiones

31 Introducción Determina la estabilidad de un sistema en lazo cerrado a partir de la respuesta en frecuencia en lazo abierto Se basa en el teorema de la transformación de la teoría de variable compleja El criterio de estabilidad se supone para un sistema causal y estable.

32 Criterio de estabilidad de Nyquist Si la FT en lazo abierto G(s) tiene P polos en el semiplano derecho del plano s, para que el sistema sea estable, el lugar geométrico G(jω) para ω (, ) debe rodear P veces el punto 1 + j0 en el sentido contrario de las agujas del reloj. Podemos resumirlo en: Z = N + P Z = número de ceros de 1 + G(s) en el semiplano derecho del plano s N = número de rodeos en el sentido de las agujas del reloj del punto 1 + j0 (negativo en el sentido contrario de las agujas del reloj) P = número de polos de G(s) en el semiplano derecho del plano s

33 Ejemplos G(s) = K s(t 1 s + 1)(T 2 s + 1)

34 Ejemplos G(s) = K(s + 3) s(s 1) ; K > 1

35 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Resonancia Ancho de banda 4 Sintonización de PID Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 Conclusiones

36 Margen de Fase y Margen de Ganancia I Margen de Fase: Cantidad de retardo de fase adicional en la frecuencia de cruce de ganancia requerida para llevar el sistema al borde de la inestabilidad (MF = φ) Margen de Ganancia: El inverso de la magnitud G(jω) en la frecuencia (ω 1 ) a la cual el ángulo de fase es (MG = G(jω 1 ) )

37 Margen de Fase y Margen de Ganancia II

38 Margen de Fase y Margen de Ganancia III G(s) = K ; K = 10 y K = 100 s(s + 1)(s + 5)

39 Margen de Fase y Margen de Ganancia III G(s) = K ; K = 10 y K = 100 s(s + 1)(s + 5)

40 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Resonancia Ancho de banda 4 Sintonización de PID Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 Conclusiones

41 Resonancia Frecuencia de resonancia: La frecuencia (ω r ) a la que la magnitud de respuesta en frecuencia en lazo cerrado tiene un máximo. Magnitud de resonancia: La magnitud del pico de resonancia. ω r = ω n 1 2ζ 2 ; 0 ζ M r = G(jω r ) = 2ζ 1 ζ ; 0 ζ

42 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Resonancia Ancho de banda 4 Sintonización de PID Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 Conclusiones

43 Ancho de banda Frecuencia de corte: La frecuencia (ω b ) a la que la magnitud de respuesta en frecuencia en lazo cerrado está 3 db por debajo del valor de frecuencia cero Ancho de banda: El rango de frecuencias donde 0 ω ω b Recordemos que: t r = π β ω d ζ t r ζ Bw tr 1/Bw

44 Conclusiones MF, MG y M r amortiguamiento del sistema ω MF, ω r y BW velocidad de la respuesta transitoria ω r par de polos dominantes lazo cerrado con ζ ω r par de polos dominantes lazo cerrado con ζ ζ ω d ω r 1/t r M r M p t r 1/BW M p 1/ζ MF ζ MF 1/M p t r MG

45 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Resonancia Ancho de banda 4 Sintonización de PID Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 Conclusiones

46 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Resonancia Ancho de banda 4 Sintonización de PID Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 Conclusiones

47 Método 2 de Ziegler-Nichols I Basado en la respuesta en frecuencia Válido para sistemas donde existen oscilaciones mantenidas para un valor de K cr K P τ I τ D G PID (s) = 0.075K cr P cr (s + 4 P cr ) 2 s P 0.5K cr 0 PI 0.45K cr P cr 0 PID 0.6K cr 0.5P cr 0.125P cr

48 Interpretación en el Diagrama de Nyquist I Sabemos que G(jω) = X(ω) + jy(ω) Para ω 0, seleccionamos un punto (A) en el Diagrama de Nyquist A G(jω 0 ) = X(ω 0 ) + jy(ω 0 )

49 Modificando la ganancia (K p ) desplazamos un punto radialmente con respecto al origen Movimientos ortogonales se producen modificando τ I y/o τ D Interpretación en el Diagrama de Nyquist I Sabemos que G(jω) = X(ω) + jy(ω) Para ω 0, seleccionamos un punto (A) en el Diagrama de Nyquist A G(jω 0 ) = X(ω 0 ) + jy(ω 0 )

50 Interpretación en el Diagrama de Nyquist II

51 Interpretación en el Diagrama de Nyquist II

52 Interpretación en el Diagrama de Nyquist II

53 Interpretación en el Diagrama de Nyquist II

54 Interpretación en el Diagrama de Nyquist III I Im[G(j ω)] P P Re[G(j ω)] D

55 Interpretación en el Diagrama de Nyquist III

56 Interpretación en el Diagrama de Nyquist III

57 Interpretación en el Diagrama de Nyquist III

58 Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV Qué ocurre con el diagrama de Nyquist?

59 Real Axis Nyquist Diagram Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV x 10 4 Qué ocurre con el diagrama de Nyquist? G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3) Imaginary Axis x 10 5

60 Real Axis Nyquist Diagram Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV x 10 4 Qué ocurre con el diagrama de Nyquist? G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3) Imaginary Axis x 10 5

61 Real Axis Nyquist Diagram Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV x 10 4 Qué ocurre con el diagrama de Nyquist? G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3) Imaginary Axis x 10 5

62 Real Axis Nyquist Diagram Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV x 10 4 Qué ocurre con el diagrama de Nyquist? G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3) Imaginary Axis x 10 5

63 Real Axis Nyquist Diagram Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV x 10 4 Qué ocurre con el diagrama de Nyquist? G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3) Imaginary Axis x 10 5

64 Real Axis Nyquist Diagram Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV Qué ocurre con el diagrama de Nyquist? G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3) 8 Imaginary Axis x 10 4 x 10 5

65 Real Axis Nyquist Diagram Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV Qué ocurre con el diagrama de Nyquist? G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3) 8 Imaginary Axis x 10 4 x 10 5

66 Interpretación del 2 método de ZN I R(s) E(s) + H(s) U(s) G(s) Y(s) G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3)

67 Interpretación del 2 método de ZN I R(s) E(s) + H(s) U(s) G(s) Y(s) G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3) Im[KpG(j ω )] 1 Re[KpG(j ω )] K P < 0.39

68 Interpretación del 2 método de ZN I R(s) E(s) + H(s) U(s) G(s) Y(s) G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3) Im[KpG(j ω )] Im[KpG(j ω )] 1 Re[KpG(j ω )] 1 Re[KpG(j ω )] K P < K P < 60

69 Interpretación del 2 método de ZN I R(s) E(s) + H(s) U(s) G(s) Y(s) G(s) = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3) Im[KpG(j ω )] Im[KpG(j ω )] Im[KpG(j ω )] 1 Re[KpG(j ω )] 1 Re[KpG(j ω )] 1 Re[KpG(j ω )] K P < K P < 60 K P = 60

70 Interpretación del 2 método de ZN II Qué ocurre para ω cr? En ω cr ( 1/K cr, 0) K P τ I τ D P 0.5K cr 0 PI 0.45K cr P cr 0 PID 0.6K cr 0.5P cr 0.125P cr

71 Interpretación del 2 método de ZN PI G(jω cr ) = 1/K cr G(jω cr )G c (jω cr ) = j0.08 PID G(jωcr ) = 1/K cr G(jω cr )G c (jω cr ) = 0.6 j System: untitled2 Real: Imag: Frequency (rad/sec): 1.75 Nyquist System: Diagramuntitled1 Real: Imag: Frequency (rad/sec): 1.75 System: G Real: Imag: Frequency (rad/sec): Imaginary Axis Real Axis

72 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Resonancia Ancho de banda 4 Sintonización de PID Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 Conclusiones

73 Ziegler-Nichols Modificado (ZNM) I 1. Seleccionar un punto A del diagrama de Nyquist de la planta 2. Seleccionar un punto B del conjunto controlador + planta donde queremos mover A 3. Observar si puede ser desplazado mediante un P, PI, PD o PID y seleccionar el más adecuado 4. Calcular los parámetros del controlador

74 Ziegler-Nichols Modificado (ZNM) II Sea A = G(jω o ) = r a e j(π+φa) Sea B = G(jω o )G c (jω o ) = r b e j(π+φ b) Sea G c (jω o ) = r c e j(φc) Igualando términos tenemos: rb e j(π+φb) = r a r c e j(π+φa+φc) rc = r b φ c = φ b φ a r a Para un PI: τ I = 1 ω o tgφ c K P = r c cosφ c Para un PD: τd = tgφ c ω o K P = r c cosφ c Para un PID (τ D = ατ I ): ωo τ D 1 = tgφ c {τ D = ατ I } τ 2 I ω o τ αω2 0 τ Iω 0 tgφ c 1 = 0 I K P = r c cosφ c τ I = 1 2ω o α (tgφ c + 4α + tg 2 φ c )

75 Ziegler-Nichols Modificado (ZNM) III Cómo seleccionar el punto deseado (B)?

76 Ziegler-Nichols Modificado (ZNM) III Cómo seleccionar el punto deseado (B)? ZN2 sugiere desplazar, para un PID, el punto ( 1/K cr, 0) a (-0.6, -0.28) correspondiendo con: r b = 0.66 y φ b = 25

77 Ziegler-Nichols Modificado (ZNM) III Cómo seleccionar el punto deseado (B)? ZN2 sugiere desplazar, para un PID, el punto ( 1/K cr, 0) a (-0.6, -0.28) correspondiendo con: r b = 0.66 y φ b = 25 Pessen sugiere desplazarlo a ( 0.2, 0.26) o ( 0.2, 0.21), correspondiendo con r b = 0.41 y φ b = 61 o r b = 0.29 y φ b = 46 respectivamente 1.6 Step Response G(s) = 1 s(s + 1)(s + 2) Amplitude ZN2 PE1 PE Time (sec)

78 Ejemplo Ejemplo: G(s) = 1 (s + 1)(s )(s ) Especificaciones: MF = 50 ess escalón = 0

79 Ejemplo - En detalle G(s) = 1 (s + 1)(s )(s ) 1.8 Step Response Step Response r b =1/Mg 0.71 φ b = Amplitude φ b =10 φ b =20 φ =30 b φ b =40 φ b =50 φ =60 b φ b =70 Amplitude r b =0.1 r b =0.3 r b =0.5 r =0.7 b r b =0.9 r b =1.1 r b = Time (sec) Time (sec)

80 1 Introducción 2 Representaciones Gráficas Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist 3 Estabilidad Criterio de estabilidad de Nyquist Margen de Fase y Margen de Ganancia Resonancia Ancho de banda 4 Sintonización de PID Interpretación en el dominio de la frecuencia Ziegler-Nichols Modificado 5 Conclusiones

81 MATLAB Diagrama de Bode: bode(num,den) Ejes: w=logspace(-2,3,100) bode(num,den,w) Diagrama de Nyquist: nyquist(num,den) Ejes: axis([re 1 Re 2 Im 1 Im 2 ]) Margen de Fase y Ganancia: [Gm,pm,wcp,wcg]= margin(num,den)

82 Conclusiones El método de ZNM permite una sintonización de parámetros en el dominio de la frecuencia Es más flexible que los métodos 1 y 2 de ZN Desventajas: Se posiciona un único punto del diagrama Las propiedades del sistema en lazo cerrado pueden modificarse bruscamente Es necesario estudiar la forma final del diagrama Cuidado con la bibliografía:

83 Conclusiones I I I El método de ZNM permite una sintonización de parámetros en el dominio de la frecuencia Es más flexible que los métodos 1 y 2 de ZN Desventajas: I I I I Se posiciona un único punto del diagrama Las propiedades del sistema en lazo cerrado pueden modificarse bruscamente Es necesario estudiar la forma final del diagrama Cuidado con la bibliografía: N

84 Gracias GRACIAS

85 Gracias GRACIAS

Sitemap